用直尺和圓規作出正 n 邊形，對 n = 3, 4, 5, 6 古希臘人經已解決，但對某些 n （例如 n = 7, 9）希臘人沒有解決而留給後人。著名數學家高斯（Carl Friedrich Guass, 1777-1855）證明了： 正 n 邊形能用直尺圓規作出當且僅當 n = 2^mp₁p₂…p_k， 其中 m 是非負整數且 p₁, p₂, …, p_k 是互不相同的費馬質數（Fermat prime）。關於費馬質數請參看 Some Special Numbers。

（三等分角問題）三等分任意角。這已被證明是不可能的，很可惜出於不了解或不甘心而繼續嘗試攻破這道難題的仍大有人在。我們不時會聽見有人宣佈自已解決了這個問題。當然，那些人的解法都是錯誤的。在那些「解法」中，人們違反了作圖公法而不自知。順帶一提，尺規作圖只可以有限次使用直尺和圓規，否則三等分任意角是可行的。

（立方倍積）求作一個立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍。在現時一般的大學代數課本中都已證明了這種作圖的不可能性。

（化圓為方）給定已知圓，求作一個正方形與該已知圓有相同面積。這亦被證明了是不可能的， 關鍵一步是在 1882 年，林德曼（F. Lindemann, 1852-1939）證明了 p 是超越數。

（阿波羅尼斯切圓問題）給定平面上三個圓，求作與這三圓相切的第四個圓。