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Math Olympiad participants

participantsThe Math Olympiad is a competition and event held in many countries, and is a great way to identify math talent and foster it nationally. The Math Olympiad has a very long history and a large number of participants, so it is very difficult to win. Therefore, the future of the student who wins the Math Olympiad is guaranteed, and various benefits and support are provided by the government. Every year, many students apply to win the Math Olympiad, but many are frustrated. Some of the math prodigies who apply to the Math Olympiad are so ridiculously talented that they are sometimes compared to university math professors. These talented students win math olympiads, and it is difficult for ordinary students to catch up with them, no matter how hard they try. Because math is a discipline where hard work alone can only take you so far, the state provides benefits and support for these students.

Cultivating Talent in China

Cultivating Talent in ChinaPeople say that China has a lot of math geniuses because of its large population, but China produces more math geniuses than other countries because its math education system is organized from a young age. Producing such math geniuses is a great advantage for the country when they think about working as a researcher in China. Each such talent is the property of the country, so it can be ahead of other countries in terms of technology. Therefore, many countries strive to cultivate talents. They increase their budgets or reorganize their education systems, but no country has done it better than China.

This year’s Chinese Math Olympiad in the spotlight

Chinese Math OlympiadThis year, the Chinese Math Olympiad will be held in the month of August. This year’s Chinese Math Olympiad is said to be the largest ever held in China. In international math olympiads, China has always been the top ranked country and has won the first place for 6 consecutive years, so many countries are watching this Chinese math olympiad closely. Therefore, many countries are following China’s lead and increasing the size and budget of their math olympiads, and attention is turning to the International Math Olympiad. I wonder which country will win the International Mathematical Olympiad this year?

Mathematical Database – Resource Sharing

<< Math Olympiad, IMO HK Preliminary Selection Contests >>
File / Description Date of Upload Language Provider
1. IMO 1988 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
2. Solution to the 1988 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
3. IMO 1989 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
4. Solution to the 1989 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
5. IMO 1990 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
6. Solution to the 1990 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
7. IMO 1991 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
8. Solution to the 1991 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
9. IMO 1992 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
10. Solution to the 1992 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
11. IMO 1993 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
12. Solution to the 1993 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
13. IMO 1994 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
14. Solution to the 1994 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
15. IMO 1995 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
16. Solution to the 1995 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
17. IMO 1996 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
18. Solution to the 1996 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
19. IMO 1997 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03/ 2003 Eng IMO HK Committee
20. Solution to the 1997 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
21. IMO 1998 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
22. Solution to the 1998 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
23. IMO 1999 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
24. Solution to the 1999 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
25. IMO 2000 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
26. Solution to the 2000 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
27. IMO 2001 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
28. Solution to the 2001 contest 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
29. IMO 2002 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 03 / 2003 Chi IMO HK Committee
30. Solution to the 2002 contest 14 / 03 / 2003 Chi IMO HK Committee
31. IMO 2003 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 05 / 2003 Chi IMO HK Committee
32. IMO 2003 Hong Kong Preliminary Selection Contest 14 / 05 / 2003 Eng IMO HK Committee
33. Solution to the 2003 contest 14 / 05 / 2003 Eng IMO HK Committee
34. IMO 2004 Hong Kong Preliminary Selection Contest 01 / 06 / 2003 Chi IMO HK Committee
35. IMO 2004 Hong Kong Preliminary Selection Contest 01 / 06 / 2003 Eng IMO HK Committee
36. Solution to the 2004 contest 11 / 06 / 2003 Eng IMO HK Committee
37. IMO 2005 Hong Kong Preliminary Selection Contest 09 / 02 / 2007 Eng IMO HK Committee
38. Solution to the 2005 contest 09 / 02 / 2007 Eng IMO HK Committee
39. IMO 2006 Hong Kong Preliminary Selection Contest 09 / 02 / 2007 Eng IMO HK Committee
40. Solution to the 2006 contest 09 / 02 / 2007 Eng IMO HK Committee
41. IMO 2007 Hong Kong Preliminary Selection Contest 09 / 02 / 2007 Eng IMO HK Committee
42. Solution to the 2007 contest 09 / 02 / 2007 Eng IMO HK Committee
43. IMO 2008 Hong Kong Preliminary Selection Contest 05 / 10 / 2007 Eng IMO HK Committee
44. Solution to the 2008 contest 05 / 10 / 2007 Eng IMO HK Committee
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<< Math Olympiad: IMO Team Selection Tests >>
File / Description Date of Upload Language Provider
1. IMO 1997 Hong Kong Team Selection Test 1 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
2. IMO 1997 Hong Kong Team Selection Test 2 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
3. IMO 1997 Hong Kong Team Selection Test 3 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
4. IMO 1998 Hong Kong Team Selection Test 1 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
5. IMO 1998 Hong Kong Team Selection Test 2 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
6. IMO 2000 Hong Kong Team Selection Test 1a 06 / 06 / 2003 Eng IMO HK Committee
7. IMO 2000 Hong Kong Team Selection Test 1a (solutions) 06 / 06 / 2003 Eng IMO HK Committee
8. IMO 2000 Hong Kong Team Selection Test 1b 06 / 06 / 2003 Eng IMO HK Committee
9. IMO 2000 Hong Kong Team Selection Test 1b (solutions) 06 / 06 / 2003 Eng IMO HK Committee
10. IMO 2001 Hong Kong Team Selection Test 1 06 / 06 / 2003 Eng IMO HK Committee
11. The fourth Hong Kong (China) Mathematical Olympiad 14 / 03 / 2003 Eng IMO HK Committee
12. IMO 2003 Hong Kong Team Selection Test 1 14 / 05 / 2003 Eng IMO HK Committee
13. The fifth Hong Kong (China) Mathematical Olympiad 14 / 05 / 2003 Eng IMO HK Committee
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<< Math Olympiad: Training Materials >>
File / Description Date of Upload Language Provider
1. Exercises on Combinatorics 1 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
2. Exercises on Combinatorics 2 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
3. Exercises on Graph Theory 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
4. IMO exercises 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
5. Problem set 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
6. Problem set 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
7. Problem set 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
8. Problem set 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
9. Problem set 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
10. Problem set 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
11. IMO 2000 Hong Kong team training material 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
12. IMO 2000 Hong Kong team training material 14 / 03 / 2003 Eng Anonymous
13. Functional equations in IMO 14 / 03 / 2003 Eng KKK
14. Notes on functional equations 14 / 03 / 2003 Eng KKK
15. Notes on generating functions 14 / 03 / 2003 Eng KKK
16. Notes on recurrence relations 14 / 03 / 2003 Eng KKK

數學資料庫

~ 2007 年 6 月 24 日 ~
八名香港代表隊成員於2006年8月前往新疆烏魯木齊參加中國女子數學奧林匹克(CGMO),並獲得1金1銀6銅的佳績。她們會在「香港隊 CGMO 2006 遊記」為大家展開新疆「神秘」的一頁! ~ 2007 年 6 月 22 日 ~

更新數學文章 從解手繩到DNA 英文版亦同時推出!

~ 2005 年 11 月 25 日 ~

想了解一下今年香港IMO隊在墨西哥的經歷?IMO 2005遊記可以滿足你!

[更新記錄]

三角形是我們認識的基本圖形之一,它有很多有趣的性質。例如:三角形有很多個「心」,如重心、內心、外心、垂心、旁心等。它們都是三角形內一些特別的直線(如中線和角平分線)的交點。更奇妙的一點是重心、外心和垂心原來位於同一直線上呢!這條直線稱為三角形的「歐拉線」。如欲知道更多有關資料,可參考 http://db.math.ust.hk/notes_download/elementary/geometry/ge_G2/e_control.htm。

Mathematical Database – Teaching Module – Probability

Teaching Module: Probability

Form 4-7 students who are interested in mathematics.

The module is divided into two parts. The first part (lessons 1-5) aims to clarify the basic concepts in probability such as sample space, events, probability function, independent events, random variables, etc. We will try a more interactive approach: giving students some paradoxical arguments and ask them to figure out what’s wrong in there. Perhaps after discussion with others they will come up with some ideas, and hopefully the students will discover that in order to explain the flaw they need to have a more firm grasp on the subject.

The second part (lessons 6-7) discusses two selected topics: random walk and card shuffling. Computer programs will be provided. Students need to perform experiments, record the experimental data and perhaps propose conjectures.

Mathematical Database – Teaching Module – Countability

Teaching Module: Countability

Target

Time spent

Brief Description

Content

Teachers’ Guide

Target

Form 4-7 students who are interested in mathematics.

Time spent

1.5 hours for each lesson.

Brief Description

In this module we attempt to guide students to explore the infinite by first introducing to them the notions of sets and mappings. This is followed by the concept of countability and some related applications.

The module consists of a total of 8 lessons. In lesson 1 the notion of sets is introduced and vast amounts of examples are given. In lessons 2 and 3 students are guided to compare the “size” of sets, along which the notions of one-to-one correspondence and mappings are introduced. After that we put forward the concept of countability in lessons 4 and 5 as a first step to deal with the infinite, where students will be guided to appreciate how infinite sets differ considerably from finite ones. Some further applications and explorations of countability will be dealt with in lessons 6 to 8. In particular, we will show that there can be no set with “maximum size” .

Content

Teachers’ Guide

The teachers’ guide of this teaching module is avaliable here.

數學資料庫 – 教學單元

這裏的教學單元是在香港大學教育資助委員會的資助以及香港中文大學數學系的指引下完成,是 Interface Project (A Prelude to Advanced Mathematics) 的一部份。這些教學單元的對象主要是對數學有與趣之本港中四至中七學生。數學老師在選定一個教學單元後,只需從這裏下載該單元的一份教師指引以及相關的工作紙,便可給學生提供一個為期六至八堂,每堂大約一小時的課外活動。這些課外活動的特色是以活動為主(例如看漫畫、利用電腦進行實驗,然後完成工作紙),旨在向學生解釋概念,並非傳授具體的數學知識和技巧。在過程中學生可以擴闊眼光,接觸到他們在中學課程裏學不到的數學概念。

教學單元 語言 堂數 簡介 最後更新
Probability 英文 7 隨意抽出一個正整數,它是 10 的整數冪的機會率是多少呢?本教學單元從這個問題談起,逐步引導學生弄清楚機會率這個看似熟識的概念。在最後兩堂,我們還會探討 random walk 和 card shuffling 這兩個經典的題目。 7/12/2003
Countability 英文 8 到底正整數多還是正偶數多?到底正整數多還是正實數多?無限是否一定等於無限呢?本單元將指導學生討論「無限」的概念,從而對「無限」有更深入的認識。此外,我們亦會介紹「可數性」理論的一些應用。 7/1/2004
Iterations, Fractals and Chaos 英文 7 碎形和混沌是近年新興的數學詞語,到底它們是甚麼?它們跟迭代又有甚麼關係?本單元設計了一系列的數學實驗,希望引導學生應用中學所學的數學,探討一些有趣的數學現象,從而對數學有更深入的理解。 14/3/2004

數學資料庫 – 數學趣趣地 – 數學文章

阿基米德(Archimedes)是古希臘三大數學家和歷代三大數學家之一,畢生對數學貢獻無數,在二千年前已著手研究曲線的周長、面積和體積問題,其獨特的思考方法開創了許多個數學概念的先河,包括積分、三次方程解和結合力學到數學研究方法上。

今次有幸選擇介紹阿基米德作為功課題目,在參考多本權威史記後,筆者以探討阿基米德的數學成就和研究方法兩部分來寫成本文,而且列出部分命題的證明,希望讀者除了認識這位傳奇人物的偉大之處,亦可嘗試在他的思想世界內穿梭。

他的著作繁多,每本也針對一些數學問題而寫成,在討論那些問題時,往往引伸其他有趣的數學問題,促成他在多個數學分支的成就。因此,在數學成就的部分,本文將對各著作和各成就作詳細敘述。

研究方法的部分是本文的精粹,那裡把數學成就的各章融為一體,析述阿基米德在研究背後的數學哲學,包括利用非邏輯方法探索數學問題。

作為介紹數學歷史的文章,無可避免談及一些數學名詞和概念,有時更可能魯莽地說得含混不清,筆者已盡有限的能力,把不容易明白的地方(縱然可能存在無限個)闡述清楚,務求無論是擅長與不擅長、喜歡與不喜歡數學的人也看得懂這篇文章。

阿基米德(Archimedes)生於西元前 287 – 212 年,出身於西西里島(Sicily)的敘拉古(Syracuse),是天文學家費狄(Pheidias)的兒子,據說與敘拉古的國王希倫二世(Hieron)有親戚關係。

處身古希臘文化最鼎盛的時代──亞歷山大時代,年輕時的阿基米德曾到亞歷山大,跟隨歐幾里德的門徒學習,結交了科農(Conon)、厄拉多塞(Eratosthenes)等好友,回到敘拉古後仍跟阿歷山大的學者保持聯絡。

阿基米德最為人所熟悉的是在力學的貢獻,這可能與他的傳奇事蹟有關 [3]。他曾說過,只要給他一個點,便能舉起地球,說的正是槓杆原理,然而他的確曾利用槓杆原理,憑個人之力移走笨重的大船。又有一次,他在浸浴時發現了物件在液體浮動的原理,高興得裸著身體走到街上,大喊「Eureka!」,即是「想出來了!」的意思。

最受人欽佩的是,他在國家的危難之秋,放棄本來的研究工作,利用力學製成許多威力強大的武器,力抗羅馬人入侵,歷史上記載了敵軍一句說話:「他(阿基米德)從容地坐在海邊,把我們的船像擲錢遊戲似的拋來拋去……還射出那麼多發彈,比神話裡的百手妖怪還厲害。」([6],頁 68)後來羅馬軍偷偷潛入軍營殺死阿德米德,一代宗師就此為國捐軀。

事實上,阿基米德在數學上的成就不下於力學方面。他既富創意又能兼顧嚴謹性,對於許多具有相當難度的核心問題,毫不畏懼地提出新穎的觀點,而且利用精密的邏輯演譯,把它們具體地呈現於人前,這些都是受後世推崇備至,與歐幾里德和阿波羅尼(Apollonius of Perga)被譽為古希臘三大數學家、與牛頓和高斯合稱史上三大數學家的原因。

阿基米德撰寫過多部著作,根據《阿基米德全集 [6] 所收錄,這包括《論球和圓柱》、《圓的度量》、《論劈錐曲面體與旋轉橢圓體》、《論螺線》、《論平面圖形的平衡》、《沙粒的計算》、《拋物線求積法》、《論浮體》、《引理集》和《方法》,每本都針對某種數學或物理問題而寫成,而且在研究過程中往往引伸其他有趣的數學問題,因此他的成就遠超這些書名指明的範圍。以下只討論他在數學的成就,而且為了突顯在各數學分支的貢獻,成就的分類不一定以著作為單位。

2.1 球和圓柱

對球體和圓柱的研究是阿基米德最傑出的數學成就之一,雖然對圓周率所知不多,而且礙於數字觀念還未完整,不能在計算比例時使用無理數,他仍然指出許多體積之間和面積之間的比例關係,令球體體積和球體表面面積公式呼之欲出。有關的資料主要記載在《論球和圓柱》第 I 和第 II 卷中。

2.1.1 《論球和圓柱》

他以六個定義和五個假設開始寫作,其中第五個假設後來成為著名的阿基米德公設(Axiom of Archimedes):「任何兩線段 ab ,如果 a < b ,則必存在正整數 n,使得 na > b 成立。」全卷共有 44 個命題,如他給多西修斯(Dositheus)的信上所說,主要結果有以下三個。

2.1.1a 命題 33:「球面積等於最大圓面積的 4 倍。」

命題 34 說明球體體積的情況:「球體積是以它的大圓為底、半徑為高的圓錐體的 4 倍。」這看來是命題33在體積方面的推廣,但根據他的另一著作《方法》([4],頁 339 – 340),命題 33 是由命題 34 聯想出來的,顯示書中命題的次序不代表它們被發現的先後。

2.1.1b 命題 42 和 43:「球缺的曲面面積等於一個圓的面積,該圓的半徑等由球缺曲面的頂點到達球缺底部圓周的長度。」

命題 42 和 43,分別討論球缺小於和大於半圓的情況。

2.1.1c 命題 34 的推論:「以球的大圓為底、球的直徑為高的圓柱體,體積是該球體的 。」

這可能是阿基米德最感到自豪的發現,他在生時已指定把這個定理刻在墓碑上,後來雖然被外族羅馬人入侵國家時殺掉,但羅馬人仍依照這個意願把他埋葬。

2.1.1d 命題的演譯

正如以上所說,卷I的命題都是由五個假設出發,承先啟後地逐一導引。使用第二假設,即「同一平面上,任何兩條有公共端點的線(曲線或折線)中,如果不相等和凹向同一方向,並且其中一條是要麼整個包含在另一條內,要麼一部分包含於其中,一部分重合,那麼被包含的線便是兩線中較短的。」,馬上得到命題1:「外切於圓的多邊形的周長大於圓的周長。」即 PA + AQ 長於弧 PQ

命題 2 是「給定兩個不等的量,則可求得兩不等的線段,使得大、小兩線段之比小於大、小兩量之比。」篇幅所限,命題 2 的證明恕未能提供,但最重要的是,結合命題 1,很容易便得到命題 3:「給定兩不等量和一圓,則可作出圓的外切和內接多邊形,使得外切多邊形的邊長與內接多邊形邊長之比小於大、小兩量之比。」由於兩個不等量是任意的,所以亦可任意逼近圓的邊長,從而證明有關圓面積的定理。這種方法叫「窮竭法」,我們將在介紹阿基米德的研究方法時詳加解釋。

其他的命題也是循著差不多的方向,有的是以描述球體體積的版本出現,證明有關球體的定理。後來加入討論扇形和球缺。

2.1.2 《論球和圓柱》II

共九個命題,其中有六個是問題,以第一章為依據而給出,主要的研究對象是球缺和作圖的方法。以下列出那六個問題:

  1. 命題 1:「給定一個圓錐或圓柱,求一球等於該圓錐或該圓柱。」

  2. 命題 3:「用一平面截給定的球,使得兩球缺面之比為已知比。」

  3. 命題 4:「用一平面截給定的球,使得兩球冠體積之比為已知比。」

  4. 命題 5:「作一球冠與一個球冠相似,而與另一個球冠體積相等。」

  5. 命題 6:「已知兩個球冠,求第三個球冠,使其與一個球冠相似,而與另一個球冠有相等的面。」

  6. 命題 7:「用一平面從已知球截出一個球冠,使得該球冠與一圓錐有已知比,此圓錐與球冠同底等高。」

其中命題 4 具有相當的歷史價值,因為它首次引起人類對三次方程的關注,我們將留待在三次方程的部分深入探討。

幾乎任何的數學文明也離不開對圓的研究,阿基米德不遑多讓,而且跟以上一章的討論一樣,再次向神秘的圓面積和圓周率挑戰。關於圓的度量,他寫了一本名為《圓的度量》的著作,但不少地方已經失傳([2],頁 50),現只遺下 3 個命題,但已經顯出了這位數學大師的非凡功架。

2.2a 圓面積計算

命題 1 開宗明義說明「圓的面積等於一個以其周界及半徑作兩個直角邊的直角三角形的面積」。《九章算述》曾說過:「半周半徑相乘得積步」([6],頁 80)。兩者也指出圓面積的計算方法,但阿基米德的發現可能比較中國方面早。

阿基米德的證明如下。設 A 為圓面積、C 為圓周、T 為命題所述的三角形的面積,假若 A > T,我們可作邊數足夠多的內接正多邊形 P 使

而得出 P > T

但這是不可能的,因為把多邊形分割成大小一樣的三角形,h 比半徑 r 短,而 P 的周界亦比 C 短,所按照計算面積的方法,P < T,與以上所說矛盾。同理,我們知道 A < T 也不成立,所以 A = T。這種證明方法在今天也十分常見,叫做「歸謬法」,我們將在研究方法的部分繼續討論。

2.2b 圓周率

歐幾里德在《幾何原本》討論了許多圓的等性,但沒有提到圓周率的值和圓面積、圓周的計算方法([6],頁 81)。阿基米德卻在科學史上,首創使用上下界來解定一定量的近似值,而且提供了誤差的計算([6],頁 81)。這些都記錄在命題 3 ──「任何一個圓周與它的直徑的比小於 而大於 」。

如圖,

(),

(沒有人知道他何以寫出 的近似值,我們將在討論算成就時詳加分析)

兩式相加,得

我們可容易地證明 ,因而 DOBC 的面積可分別等於 和 ,於是有

左右同時加 1,

左端分母與右端分子交換,再由前面的不等式,有

或 。

於是我們證明了正六邊形與直徑比例的上界,以相同方法,阿基米德計算正十二邊形至正九十六形的比例,亦以差不多的方法計算應對的下界,最後得出命題中的上下界。

阿波羅尼(Apollonius of Perga)是與阿基米德同期的數學家,他以研究圓錐曲線名垂千古,研究時所用的座標方法,更令後世的費馬(Fermat)得到啟發而創立解析幾何([8])。相比之下,阿基米德對拋物線、拋物線體、雙曲線體和橢圓球體的研究不如前者聞名,但阿基米德運用力學和比例來探討問題的獨特風格([4],頁27 – 34、332 – 338),仍贏得後世不少注視。這裡他大量採用了窮竭法來證明命題,但我們將在稍後才討論研究方法,這裡只略述他的研究成果。

他寫過一本名為《拋物線求積法》的著作,有 24 個命題,最重要的是命題 24──「由任一拋物線弓形的面積是同底等高的三角形面積的 。」

他又寫過另一本著作名為《論劈錐曲面體與旋轉橢圓體》,共有命題 32 個。劈錐曲面體即是由拋物線或雙曲線兩種圓錐曲線,迴轉所形成的立體。旋轉橢圓體也是一樣,只是圓錐曲線是橢圓形。阿基米德的研究集中在體積問題。以下是較重要的兩個命題:

  1. 命題 21 和 22:「旋轉拋物面任一截段的體積是與其同底同軸的圓錐或圓錐截段的體積的 。」
  2. 命題 24:「在迴轉拋物面體上,以兩平面切割(任意方式),則分成的兩截段(拋物面體)為它們軸長平方之比。」

    截段 APp : 截段 APp

    = AN2 : AN2

古典希臘時期對幾何的研究多限制於能繪製的圖形內,外形奇特的曲線往往被忽視,直至阿歷山大時代才有人打破這種思想,阿基米德便是其中一人([5],頁 125)。他在《論螺線》中討論一種新奇的曲線──一直線以一端點(稱為原點)為中心,作均速旋轉,直線的另一端點以均速向外延伸。這種曲線稱為「螺線」(spiral),後來被稱為「阿基米德螺線」,用極方程表示,即 r = aq

沒有人知道他何以繪畫這種曲線,最多相信的說法是他利用了運動學的原理,把兩種速度以向量的形式結合起來,從而畫出螺線,這是史上首個微分概念([1],頁 150),第二次出現要直到 1629 年的費馬(Fermat)。然而,阿基米德竟於《論螺線》中提出了在螺線上作切線(tangent)的技巧,他的思維就是這麼匪夷所思。

《論螺線》有 28 個命題,前 9 個是關於圓和切線的比例關係,命題 10 至 12 討論算術級數,其中包括

為後來討論螺線的面積問題鋪路。命題 13 至 20 研究螺線的切線,命題 20 帶出了切線的作圖方法:如果 P 是第一圈上的任意一點,作 OP 的垂線 OT,那麼過 P 點的切線將與 OT 交於 T;如果以 O 為圓心,OP 為半徑的圓交起始線於 K,那麼 OT 等於該圓上 KP 間在前段方向與弧長。接著還提出在任意第 n 圈的處理方法。

由命題 21 開始講述面積,證明方法亦是窮竭法,其中命題 21 指出:

若螺線是 r = aq,則由螺線第一圈和始線所圍圖形的面積 = 。

古希臘的一些人存有一個誤解,就是世上的沙粒無窮多,即使不是無窮多,也沒有一個可以寫出來的數可以形容。阿基米德希望糾正這種觀念,提出一種新的記數方法來表達數量非常大的數字,而且計算出宇宙中的沙粒總數,並把這項工作收錄在《沙粒的計算》,那是他唯一的算術著作,縱使他在算術還有其他的卓越成就。當然希臘的數字符號中,以代表「萬」的「M」為數值最大,若要表示 2 萬,則用 ,其中 b 代表 2。於是,希臘符最大只可以表示一萬的一萬倍,即一億(108)。新的記數方法利用指數概念,稱由 1 到 108 為第一級數,由 108 到 1016 為第二級,如是者,第 108 級數是由 到 ,以上都稱為第 1 周期的數字,而且用 P 代表 。在第二周期,第一級是由 P.1 到 P.108,如是者,第 108 級即由 P.到 P.。這樣下來,第 108 周期的第一級數是由 .1到 .108,第 108 級數是由 . 到 .。阿基米德假設了地球的大小、與月球的距離、太陽的大小、宇宙的大小和一夥罌粟種子的沙量數目,計算出全宇宙的沙粒數目僅有 1051 ,遠少於 .,從而澄清誤解。阿基米德並未就此滿足,本來可以把記數方法發展至能夠達任意大的數量,但看見目標已達到,而且可能當然臨近羅馬人入侵的時刻,沒有進一步進行改革記數制度的工作([6],頁 90)。

主要成就有兩個,第一是給出 的近似值,第二是對數值大的數字,給出平方根的近似值。

2.6a 的近似值

我們在 2.2b 也說過,阿基米德在尋找圓周率的近似值時提出了 的近似值,實際上是這樣的:

有趣地,這兩個分數分別是分母不大於 153 和分母不大於 780 的分數中,最接近 的([6],頁 81)。究竟他是如何得到這兩個分數呢?從古到今眾說紛紜,較多人相信的是他利用了不等式

原因是他的好友海倫曾利用相似的計算方法給出 的近似值,阿拉伯人阿里卡西(Alkarkhi,公元 11 世紀)吸收了希臘原始資料之後,使用了 ([4],頁 68)。

一般相信,阿基米德以 開始估值,得 ,與 比較,,代入 變成,把它成為 a 的新值,重覆以上步驟,最後有 。將同樣方法應用到 ,於是便成了 。

其實他可以不用 ,改用 作為 a 的初始值,而且以上方法可以重覆更多次數來進一步逼近 ,但他沒有這樣做,相信他認為自己的選擇,不但已足夠接近 ,亦方便在計算中抽取公共因子([4],頁 70),真是照顧周詳。

2.6b 大數平方根的近似值

他主要利用了歐幾里德定理 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 和以 60 為分母的分數。

古希臘數學家偶爾探討三次方程,但只停留在純三次方程(y = ax3)的層面,正如阿基米德在《論球和圓柱》命題 1 和 5 中所處理的 a2 : x = x : b 這類問題。然而,他在命題 4 面對的是這樣一個比例:

當中 a 是球半徑,m : n是給定比(兩直線段之比,m > n),x 是較大一段的高。他在化解過程時把問題變得更一般化,即成為:

當中把線段 a 分成 (ax , a) 兩段,bx 被理解為正方形面積。他藉著求出拋物線和雙曲線的交點來得到答案,還指出在 0 與 a 之間無根、有一根或兩個根的條件([4],頁 116 – 117)。

當時專門研究圓錐曲線阿波羅尼(Apollonius of Perga),在探討「從一定點作某圓錐曲線的法線(normal)的條數問題」時也遇上相似的問題,但他沒有採用三次方程,而是於致力於幾何上的直接解法,阿基米德的研究結果比阿波羅尼更一般和廣泛([4],頁 119)。

阿基米德開闢了一條用圓錐曲線化解三次方程的路,後來傳入阿拉伯國家,引起哈津(al-Khazin,? – 965?)、伊本海塞姆(Ibn al-Haytham,965 – 1040)、艾布里朱德(Abu’l Jud,約 1000)沿著這方向研究,最後奧馬海亞姆(Omar Khayyam,1048 – 1131)總結出所有類型的三次方程的圓錐曲線解法([6],頁 80)。

作為三大數學家之一,阿基米德對數學的研究多不勝數,有一些已經失傳,或者只尋回小部分,亦有一些根本沒有記錄在長篇大論的著作,而是以書信和其他輕便的方式流傳下來,這裡都是比以上所提暗淡一些,但亦歷久不衰的數學成就。

2.8a 三角形面積公式

三角形面積 =,其中 s 是三角形周界之半,abc 是三角形的邊長。

2.8b 半正多面體

2.8c 正七邊形作圖法

2.8d 群牛問題

阿基米德在一次探望敘拉古國王赫尼洛時提出一個問題,意思如下:

Ww 分別是白色公牛和母牛的數量,

Xx 分別是黑色公牛和母牛的數量,

Yy 分別是黃色公牛和母牛的數量,

Zz 分別是花斑公牛和母牛的數量。

然後又對牛隻的數量給出一些條件,用數式表示即:

問各種顏色的公牛和母牛有多少隻。

赫尼洛好不容易找到答案,最小的答案也是七位數。阿基米德在問題加入兩個條件:

赫尼洛再解答不到,數學歷史學家也覺得阿基米德亦無法解答,原因是在 1965 年借助電腦才找到答案,答案的位數多達 206500 個([2],頁 97 – 98)。

無論如何,從解破第一部分的問題和預知第二部分問題的難度,可看到阿基米德的代數造詣之高。

2.8e 《引理集》

有一本叫《引理集》的阿拉伯書流傳下來,記載了 15 個有關圓形的問題,相信是阿基米德的後人替他整理的。因此,《引理集》的命題好像沒有共同目的,也沒有使用窮竭法,只是閒談一些圓的特性。以下是一些例子:

  1. 命題 4:「如果 AB 是某半圓的直徑, NAB 上任意一點,以 ANBN 作直徑得兩個半圓,那麼它們圍成的面積,等於以 PN 為半徑的圓形,這裡 PNAB 的垂線,交半圓於 P。」

  2. 命題 9:「如果 ABCD 不是直徑,且相交成直角,則
    (弧 AD)+(弧 CB)=(弧 AC)+(弧 DB)。」

繼承前人的成果,提出富創意的意念,而且堅持尋找嚴謹的證明都是阿基米德的研究風格([4],頁 26 – 27)。一如廣受認同的幾何原本,他的著作亦是由定義和假設出發,把命理導引出來。以下將介紹他的證明方法。另外,我們從《方法》([4],頁 339 – 340)知道,陳述命題的先後次序,不等於被發現的先後次序,由此肯定阿基米德的探究方法,並不是只有如著作上的邏輯方法,背後還有甚麼秘密呢?以下亦將為你揭開真相。

無論在陳述命題或列寫證明時,阿基米德的著作都充滿著比例,相信在數學成就的部分,大家已看過他把比例操控得如何刁鑽吧。事實上,古希臘的數學主要包含兩種方法,一個是運用面積,另一個是運用比例。歐幾里德兩者也有採用,阿波羅尼(Apollonius of Perga)主要取前者,阿基米德則主要取後者([4],頁 27)。例如圓錐曲線,阿波羅尼以面積來理解 y2,並指出拋物線有 y2 = px 的關係,橢圓和雙曲線有 的關係,當中 p 是變量(parameter),d 是直徑(diameter),而阿基米德則把拋物線視為 ([2],頁 139),因而研究的方向和成果各有不同。

歐幾里得在《幾何原本》第十二卷第二個命題的證明中,使用了一種被人稱為「窮竭法」的比例方法,阿基米德證明自己的命題,亦大量使用了這種方法。我們在 2.1.1d 提過一個窮竭法的例子,先任意指定兩個不同的數值,它們可以形容一個比例 R,並且在一個圓形旁邊,作圓外切多邊形和圓內接多邊形,如果多邊形邊數足夠,它們的圓面積的比例一定比 R 少,阿基米德已證明了這一點。如果 R 是非常接近 1,那麼圓外切多邊形和圓內接多邊形的面積比例亦非常接近 1,這樣便可知道夾在中間的圓形的面積。

這是一種逼近的方法,本來由曲線所圍成的面積是不容易計算的,但利用外切和內接多邊形便可以任意地逼近了。事實上,同樣的方法對圓錐曲線,甚至對由曲線迴轉而成的立體也可以做到逼近的效果,阿基米德利用了這一點,在《論球和圓柱》、《圓的度量》、《拋物線求積法》、《論劈錐曲面體與旋轉橢圓體》和《論螺線》大量應用了窮竭法,衝破了一個又一個難題。

窮竭法不一定需要外切多邊形和內接多邊形同時存在,有時只要有其中一款已經足夠。例如之前提過在《拋物線求積法》的命題 24-「由拋物線與弦 Qq 所圍成的弓形面積等於同底等高三角形面積的 」,證明([5],頁 119 – 120)方法是依靠一系列的三角形來逼近拋物線,先找出頂點 P,作 DPQp,找出 PQPq 之間的頂點 Rr,作DPQR 和 DPqr。事實上,先前的命題證明了

DPQR 的面積 = DPqr 的面積 = DPQp

所以,以上著色部分面積總和 = DPQp + DPQp

阿基米德證明了,在 DPQR 和 DPqr 重覆剛才的步驟,最終可產生一系列的三角形,它們的面積總和與拋物線弓形的面積差可以任意小,因而有

拋物線弓形 PQp = DPQp + DPQp + DPQp + DPQp + … +DPQp

窮竭法告訴我們計算面積的方法或公式,但是這樣還未足以化解問題,因為這些方法和公式需要無窮無盡的運算,當時又沒有無限的概念,要利用間接的方法才可得到答案,這方法通常是「歸謬法」。

「歸謬法」即是反證法-我們先推測答案的數值,然後假設真正的答案大於或小於該數,如果可以證明它們都會產生矛盾,便證明了該數值是答案。回到拋物線面積的例子,阿基米德推測面積是 DPQp,於是假設

由於三角形面積總和與拋物線弓形面積的差可以任意小,所以

拋物線弓形面積 > 三角形面積總和 > DPQp

但根據命題 23〔注〕,若把面積和重新取至 m 項(m > n),

產生矛盾。

同樣地可推出

導致矛盾,於是推測成立。

以上可見,窮竭法和歸謬法是應付曲線問題的黃金拍檔。

看了這麼久,你或許和很多在公元 1906 年前研究阿基米德著作的人有同一個疑問-究竟他如何得到這麼多驚人發現?阿基米德的著作十分簡潔,只記下定義、假設、命題和證明,沒留下絲毫有關如何思考或探索問題的痕跡,讀者只能驚嘆這位天才的功績,卻無法想像這些功績如何達成。作為正文最後一個部分,我們現在就把謎團解開。

1906 年,海格伯(J. L. Geiberg,1854 – 1928)在土耳其發現一本羊皮紙書,裡面記載大量阿基米德的著作,其中包括《方法》,正是阿基米德為了交代自己探索問題的方法而寫成的一本書,全書有 15 個命題,大部分其他著作已出現過,但這裡說明的,不再是嚴謹的證明,而是比證明更有價值的東西。

眾所周知,阿基米德在力學方面亦享負盛名,但原來他會運用力學來研究數學。我們在窮竭法說過的拋物線面積,正是《方法》的命題 1,交代了他寫出證明前的發現:

首先講講上圖各線段的關係。設 BD 為拋物線截段的高(diameter),CF 為在 C 點的切線, P 是在拋物線截線段上的任意點,AKFOPNM 平行於 BDCBNKH 共線,KHKC 長度相同。B 作為頂點,透過之前的定理,EB = BDMN = NPFK = KA。命題 5 又證明了

MO : OP = CA : AO = CK : KN = HK : KN

現在,設想每條線段均有重量,而且重量與長度成正比。如果把 K 視為 HC 的支點,把重量相等於 OP 的線段 TG 放在 HMO 的重心點(中點) N 正在 KN 上,所以支點 K 兩旁保持平衡。

由於 P 是任意的,OP 可以是拋物線截段 ABCAC 之間任何的平行線,所以 MO 可以是 DAFC 內任何的平行線,而且 OPMO 仍保持上一段所說的關係。

阿基米德認為,拋物線截段 ABC 和 DAFC 內的線段數目(OPMO)相同,因而推斷,如果支點仍然是 K,由所有 OP 組成的拋物線截段 ABC,將與由所有 MO 組成的 DAFC 平衡,而 DAFC 的重心是位於 CK 上的 W,那裡 CW = 2WK

因此,

拋物線截段 ABC: DAFC = WK : KH = 1 : 3(∵CK = KH)。

所以,

拋物線截段 ABC = DAFC = DABC。(之前的命題證明了 4 倍的關係)

《方法》的中心思想,是把要計算的未知量,分成許多微小量,通常利用槓杆,令這些微小量與其他微小量成比例關係,後者的微小量的和是較易計算的(例如剛才的三角形 DAFC),從而求出未知量([6],頁 74 -75),這是積分的雛形思想。阿基米德就是這樣把力學和數學結合起來了。

方法固然精彩,但阿基米德指出這是一種直觀的推測,不能代表證明,以後還需要使用其他方法(窮竭法、歸謬法)嚴格證明結果。事實上,力學方法真的不是萬試萬靈,例如考慮下圖([6],頁 75 – 76):

DC 是三角形的高,EF // ABEG ABFH AB,則 GE = HF。隨著 EFAB 承升到 C,在每個高度總找到一對的 EGFH,很容易以為 DACD 和 DBCD 面積相等,其實兩者未必相等。

阿基米德與歐幾里德和阿波羅尼(Apollonius of Perga)同屬阿歷山大時期,合稱古希臘三大數學家,而且他與牛頓和高斯亦被公認為三大數學家。與牛頓的萬有引力一樣,阿基米德最為人熟悉的是力學方面的成就,但既然能在數學方面獲得貫穿古今的聲譽,他對數學的貢獻不容置疑。

阿基米德寫過多部數學著作,包括《論球和圓柱》、《圓的量度》、《論劈錐曲面體與旋轉橢圓體》、《論螺線》、《沙粒的計算》、《拋物線求積法》、《引理集》和《方法》,討論範圍主要在幾何方面,平面的有圓形、拋物線和螺線的切線、周長和面積問題,立體的有圓柱、圓錐、球體、橢圓球體和劈錐曲面的面積和體積問題,還有史無前例地提出圓周率的上下接近值。其他出色的幾何發現包括海倫公式、正七邊形作圖法和半正多面體等,多不勝數。

阿基米德較少討論算術的問題,只有《沙粒的計算》唯一一本算術著作,發明新的記數系統來表達數值非常大的數字。但在研究幾何時,他偶爾碰上一些十分引人入勝的算術問題,先後對 和一些數值很大的平方根提出近似值、發表啟蒙後世的三次方程化解方法、計算算術級數和等,這些仍為不少人津津樂道。

研究方法方面,他是使用比例的天才,在列寫證明和和陳述命題時,比例是他慣用語言。他又喜歡使用力學觀點來探討數學問題,在《方法》的 14 個命題中示範這種獨一無二的思考方法,中心思想正是積分概念。阿基米德深知這種方法不算嚴格證明,因此在其他的著作中一概不露痕跡,改用其他方法證明命題,這時候窮竭法和歸謬法都是他的得力助手。

上述各點使阿基米德成為科學史上,首位提出以上下限來界定一定量的近似值、首位擁有微分概念、首位結合力學和數學。他的風采歷久不衰,至今是所有數學歷史課的必然課題,是所有古希臘歷史書中的天皇巨星。

[1] John Stillwell (1989), Mathematics and Its History, Springer.

[2] T. L. Heath (1965), A History of Greek Mathematics, Volume II, Oxford.

[3] E. T. Bell 著(1937),井竹君等譯(1998),古代學者的近代思想。《大數學家》(Men of Mathematics),頁17 – 34,臺北:九章出版社。

[4] T. L. Heath 著(1912),朱恩寬、李文鉻等譯(1998),《阿基米德全集》(The Works of Archimedes),中國:陝西科學技術出版發行。

[5] Morris Kline 著(1908),林炎全、洪萬生、楊康景松譯(1983),阿歷山大希臘時期:幾何學和三角學。《數學史:數學思想的發展》,第五章,頁 108-125,臺北:九章出版社。

[6] 解恩澤、徐本順主編(1994)。阿基米德《世界數學家思考方法》,頁 61 – 99,濟南:山東教育出版社。

[7] 蔡志強、孫文先(199?)。《數學立體模型製作》。臺北:九章出版社。