Fernando wrote:

設平面上有3個單位向量a,b,c (1)若a與b垂直,則計算向量c-(c dot a)a -(c dot b)b 的長度 (2)若a與b垂直,則 c 是否有可能同時與a及b垂直? (3)證明:平面上不可能有3個互相垂直的非零向量? p.s:所有的a b c上面皆有一個向量的符號,而c dot a是指內積的意思 順帶問幾個觀念: 1.向量a dot 向量b 和向量a*向量b有什麼不同? 2.零向量的意義?是否會與所有向量垂直or what?

先答觀念: 1)

是向量的點積 (Dot product), 是 a 投射到 b 上的長度再乘以 b 的長度, 即 , 其中 是 a和b之夾角.

而 是向量的叉積 (Cross product), 其垂直於 a 和 b, 且長度為 a、b 所構成的平行四邊形. 即 , 其中 為一垂直於 a 和 b 的單位向量.

點積和叉積 最大的分別是 點積 會產生一 純量 (Scalar), 而叉積會產生向量 (Vector) (*正式來說是偽向量 Pseudovector, 因為那個單位向量有2個選法)

2)

零向量 (Zero vector or Null vector、0) 是長度為 0 的向量, 故亦沒有方向.

——————————————————————————- 回到問題:

已知 |a| = |b| = |c| = 1.

(1) 因 a 與 b 垂直, 故有 . 另外還有 . 所以:

(2) 不能. 但若 a,b,c 在三維空間中則可.

(3) 假設平面上存在4點 A,B,C,O 使得 , 且定義 , 那麼由 可知 a 和 c 必定在同一線上 (因為 ), 與 矛盾.