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質數

一、　引言

人們一般把整數看作最基本的數，其他的數都由整數衍生出來。然而專門研究整數的人卻不是這樣看，他們認為質數才是最基本的數，因為任何大於 1 的正整數，若它不是質數，便是若干質數的積。中國古代的數學家把質數叫做「數根」，意思是數的根本。

一個專門研究整數的數學分支叫「數論」，在這個領域裏集中研究的問題正是與質數有關。

二、　數學篩子

研究質數，首先得設法找出質數。大約在二千多年前，古代希臘數學家愛拉托散尼（Eratosthenes）把一張寫著自然數列的羊皮紙緊在一個框上，然後用刀子逐一挖掉 2 的倍數、3 的倍數、5 的倍數等等，從而列出了首幾個質數。由於挖去了合成數後，羊皮紙上留下了一個一個的洞眼，使整個羊皮紙猶如一個篩子，合成數好像都通過篩子篩掉了，而質數則保留了下來，因此後人就稱這種尋找質數的方法叫「愛拉托散尼篩法」。不過，用這樣的方法找出質數畢竟不是一件容易的事。研究質數，首先得設法找出質數。

三、　質數是無限的

在愛拉托散尼發明篩法不久，希臘數學界出現了一場關於質數是有限還是無限的辯論。

一天，亞歷山大里亞大學數學教授歐幾里得 (Euclid) 發現了一個質數有無限多個的証明，而且十分簡單。如果質數只有有限個，那麼我們就可以把它們一一寫出來，比如 P1、P1、……、Pn，但看 P1P2…Pn + 1 這個數，它顯然不能被 P1、P2、……、Pn 任何一個整除。如果 P1P2…Pn + 1 是質數，那麼 P1P2…Pn + 1 是除 P1、P2、……、Pn 外的另一個更大的質數；如果 P1P2…Pn + 1 是合成數，那麼它必定被另一個 質數整除，而這個質數卻不是在 P1、P2、……、Pn 之內。以上無論那個可能性，都是自相矛盾的。換句話說，質數有無限多個。

四、　烏蘭現象

如果我們能把所有質數用一條公式表示出來，那是多麼美好的事！但顯然這不是容易的事，原因是質數的分佈太散漫，沒有規則。

1963 年，美國數學家烏蘭在參加一次學術會議時，因為對演講者的一篇冗長的論文不感興趣，思想開了小差。他無聊地在紙上縱棋劃線，畫出了一個個方格，他本想畫一個棋盤自己與自己對著的，但也許是數學家的癖好吧，他擺弄著擺弄著，忽而又想到數學中去了。於是烏蘭劃出了 100 格子，正中間一格填上 1，以此為出發點按逆時針方自螺旋式地逐個填數。接著，又把是質數的格子圈出，他想看看如此這般地做了以後會有什麼奇特的現象。

突然，一個有趣的現象出現在眼前，質數似乎很喜歡擠在一條直線上。於是，他借助電子計算機打出了從 1 到 65000 的螺旋圈，令人興奮的是這種現象仍然存在。後來人們就稱它為「烏蘭現象」。這發現有利於日後對質數的研究。

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91
65 64 63 62 61 60 59 58 57 90
66 37 36 35 34 33 32 31 56 89
67 38 17 16 15 14 13 30 55 88
68 39 18 5 4 3 12 29 54 87
69 40 19 6 1 2 11 28 53 86
70 41 20 7 8 9 10 27 52 85
71 42 21 22 23 24 25 26 51 84
72 43 44 45 46 47 48 49 50 83
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

烏蘭現象

五、　質數現象

1800 年，德國的兩位大數學家高斯（Gauss）和勒讓德爾（Legendre），分別從下面這種表的觀察中，得出一個重要的猜想。

x p(x)
103 168 145 0.01680
104 1229 1086 0.01229
105 9592 8686 0.00959
106 79498 72382 0.00795
107 664579 620421 0.00665
108 5761455 5428681 0.00576
109 50847478 48254942 0.00508

表中 p(x) 表示不大於 x 的質數的個數， ln x 是 x 的自然對數。他們發現︰隨著 x 的增大，p(x) 也不斷增大；同時 這個比值隨著 x 不斷增大而不斷減少；p(x) 與 亦越來越接近。當 x 趨於無限大時，p(x) 與 的比趨於 1。這就是著名的「質數定理」。

由於當時高斯和勒讓德爾沒有給出定理的證明，所以只能稱它為「質數猜想」或「高斯 — 勒讓德爾猜想」。不過，它以如此簡明的形式，把質數的個數 p(x) 這樣一個離散的量用連續量 來表示，不能不說是一個出色的發現。

直到 1894 年，難題終於被法國數學家阿達瑪（Hadamard）攻克。接著，兩年後，普森（De la Vallée Poussin）又獨立地證明了質數猜想。從此，質數定理的名字才正式確立。

質數定理得到証明本來是很不錯的，但數學家覺得用複變函數這種高等數學的方法來證明數論中的問題，總有些轉彎抹角。於是，尋求用「初等的」方法證明質數定理的嘗試又開始了。1949 年，挪威和匈牙利的兩位年青數學家賽爾伯格（Selberg）與愛多斯（Erdös）同時用初等方法證明了質數定理。在證明中，他們都應用了一個被稱為「賽爾伯格不等式」的重要工具，而這個工具的得出，其意義甚至超過了這個初等證明。

賽爾伯格的數學成就不僅在於證明了質數定理，更著名的成就是他開拓了對「黎曼猜想」的證明。正因為如此，1950 年，在美國坎布里奇舉行的第 12 屆國際數學家大會上，他獲得了數學領域中的最高榮譽 — 費爾茲獎。