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歐幾里得的《幾何原本》是一部劃時代的鉅著。在這本書問世以前，人類所累積的數學知識是零碎的。《幾何原本》的重要性在於它將前人的數學知識以邏輯的手法加以組識及整理，使其成為一個嚴密的系統。當然，從生活在二千年後的我們看來，《幾何原本》無疑有其不足和不嚴謹之處，但它研究數學的方法卻被後世數學家一直源用至今。這個專題研究的目的，就是要詳細分析及討論歐幾里得所提倡的這套方法，對《幾何原本》第一卷的定義和公理作深入的探討。更重要的是，在過程中我們學習去了解及欣賞前人的工作。

幾何學是從製造器皿、建築、土地測量等實際問題中產生和發展起來的。石器時代的原始人，已懂得將石器製造成較有規則的幾何形狀。例如在北京西南周口店的猿人遺址中發現的五十萬年前的石器、在山西省襄汾縣丁村發現的幾萬年前的球形石塊均證明了這一點。隨住人類文明的進步，人們不但關心物體的形狀，他們還對物體的大小有具體的要求，這就需要懂得測量及計算長度、面積和體積。這導致一些幾何計算公式的出現。對巴比倫、古埃及或中國古代數學文化有認識的人都知道，這些幾何公式並不像現代的教科書般以「定義—定理—證明」的方式寫出來，而往往是隱藏在例題中。那時的人似乎不重視證明，公式很多時是靠經驗或實驗得出的。正因為這個原因，那些公式有時只能給出一個近似的答案。例如巴比倫人以 A = c2/12（其中 c 為圓周長）作為圓面積的公式，從現代人的角度來看他們取 3 為 p 的近似值。

對幾何學進行全面而深刻的研究，使其成為一門獨立的學科是由希臘人完成的。歐幾里得（Euclid，拉丁文拼為 Euclides 或 Eucleides，希臘文 Eύĸλείδŋs，公元前 300 年前後）的《幾何原本》1更是幾何史上第一本系統地討論幾何的著作。這本書問世以來，在各國廣泛流傳，其影響之大僅次於基督教的《聖經》。這二千年間，千千萬萬的人通過《幾何原本》的邏輯訓練，從而邁進科學的殿堂。牛頓在他的著作《自然哲學之數學原理》的序中寫到：「從那麼少的幾條外來的原理，就能夠取得那麼多的成果，這是幾何學的光榮」（It is the glory of geometry that from so few principles, fetched from without, it is able to accomplish so much）。

直至今天，《幾何原本》無論對數學史或數學教育工作者來說，都有永遠的參考價值。

在《幾何原本》出現之前，許多希臘數學家已做了大量的前驅工作，這些工作大都建立在實驗之上而沒有嚴格的證明。（既使是二千年後的今天，很多重要的數學結果最初出現時都沒有完整的證明。）歐幾里得提倡的公理方法，是一種用來證明命題正確的方法。它不但可以證明命題的對確性，往往可以給出一般的結果。舉個例說，埃及人早就知道以3、4、5為邊長的三角形是直角三角形。希臘人卻可以證明若一個三角形的三條邊長 a、b、c 滿足 a2+b2=c2 的話，那必定是一個直角三角形。若試圖用實驗的方法去驗證這個結論，便需要無限次的實驗，這顯然是不可行的。

到底甚麼是公理方法？試想象你現在要說服其他人命題 P1 是正確的，一個很自然的做法是找出一個你認為大家都會同意的命題 P2，再由 P2 推論出原來的 P1。若大家對 P2 仍有懷疑的話，你便會找出一個比 P2 更簡單的命題 P3，然後由推出 P2……如此類推，直至到達一個人所共知的命題 Pn，你便無需要再解釋了。

倘若你不能達至一個人所共知的命題，你便會陷入一個無限倒退的困境。公理方法的精神就是要避免這種困境，所以我們定下兩條規則：

規則一

接受某些被稱為「公理」或「公設」的命題，對於這些命題我們無需要作任何證明。

規則二

同意何謂「」，即協定一些推論法則。

歐幾里得的成就在於他精心選出 10 條公理，然後從這些公理出發證明了 465 個命題。這些命題當中，有部份（例如畢氏定理）是絕對不明顯的。區區 10 條公理，便反映了歐幾里得對這個世界的理解，便解譯到千變萬化的幾何現象，這確實令人感到驚嘆！

在判斷一個證明的對確性時，除了之前提供的兩條規則之外，其實還有一條：

規則三

在證明之中所用到的字、詞、符號，其內容都應該是大家所清楚知道的。

若果你在證明中用到一個新的名詞，或對舊的名詞有新的用法，你便需要在證明之前先引入一個定義。定義基本上是可以任意給出的，但在大多數的情況下一個定義不應（與自身、其他定義，或公理）產生矛盾。當然，即使一個定義沒有產生矛盾，它是否合理和有用是另一回事。

《幾何原本》的第一卷中有 23 個定義，我們從 [3] 中節錄出較重要的幾條：

15. 圓是由一條線包圍的平面圖形，其內有一點與這條線上的點連接成的所有線段都相等。

20. 在三邊形中，三條邊相等的，叫做等邊三角形；僅兩條邊相等的，叫做等腰三角形；各邊不相等的，叫做不等邊三角形。

23. 平行直線是在同平面內的直線，向兩個方向無限延長3，在不論哪個方向它們都不相交。

我們沒有可能對每一個我們用到的名詞都下定義。要定義一個名詞，必須用另外一些名詞，那些名詞亦需由其他名詞去定義。若果我們不准許出現一些不定義名詞（undefined terms），我們將陷入之前遇過的同一個困境：無限倒退。但歐幾里得卻企圖定義所有幾何學中的名詞，「點是沒有部份的」、「線只有長度而沒有寬度」…這些定義是不可能用來做證明的。歐幾里得應該意識到這一點，也許他只是想為討論到的幾何對象給出一個直觀上的描述。

後世對歐氏幾何進行公理化的數學家有很多，其中做得最出色、最直觀與最保留著歐幾里得精神的是19世紀後期20世紀前葉的數學巨人，德國數學家大衛‧希爾伯特 （David Hilbert，1862-1943）。在他的巨著《幾何基礎》4（Grundlagen der Geometrie，1899），規定了幾個不定義名詞：

有了這些不定義名詞，我們便可以定義線段為兩個不同點與其之間的點所組成的集合，可以定義何謂兩點在一線的同側…等等。歐幾里得在寫出第五公設時，便涉及到「線的一側」這個概念，間接假定了線將平面分為兩部份。在《幾何原本》中沒有定義清楚「兩點在線同側」是甚麼意思，亦在沒有解譯的情況下用到「一點在某兩點之間」作論證（歐幾里得覺得那可以從圖中看出），這都是由於歐幾里得未能分清那些概念需要定義、那些應列為不定義名詞所致6。當然，我們不應對《幾何原本》過於吹毛求疵。正如之前所說，歐幾里得推倡的公理方法無可否認是劃時代的突破。當時沒有集合論，歐幾里得沒有理由懂得寫出「線段是兩點與其之間的點所組成的集合」這樣的定義。

在定義 15 裏歐幾里得定義了何謂圓形。歐幾里得所說的「兩線段相等」現時一般有兩種（互相等價的）理解。第一種是「全等」（congruent），有部份作者將「線段的全等」列為不定義名詞（正如「角的全等」一樣），這裏不涉及「長度」（length）的概念；另一種應該是歐幾里得的原意，就是「長度相等」。線段的長度是非常直觀而且自然的概念，亦是歐氏幾何中最重要的一部份（正如引言所說，幾何學源自製造器皿、建築、土地測量等實際問題，均涉及長度和面積）。定義 15 在當時來說可算是非常明確，清楚定義出歐氏幾何中一個重要的成員：圓形（歐氏幾何基本上是研究直線和圓形，或由它們組成的圖形）。可是，後世的數學家不滿意這個定義。甚麼是長度？答案在於希爾伯特的系統中的一個定理：

定理：　（線段的長度）

給定線段 OI（稱為單位線段），存在且唯一存在函數 ，它賦予每條線段 AB 一個正實數 ，並滿足

(i) ；

(ii) 當且僅當線段 AB 與 CD 全等；

(iii) 若點 B 在 A 和 C 之間，則 ；

(iv) 當且僅當在 C 與 D 之間存在點 E 使得 AB 與 CE 全等；

(v) 對每個正實數 l 均存在線段 AB 使得 。

這個定理再一次讓我們明白到《幾何原本》中的全部結果均可以建立在一個嚴密的公理系統之上，只是在歐幾里得的年代無法這樣做。縱使《幾何原本》中的證明很多都要依賴於圖，在希爾伯特的公理系統中卻可以將這些定理由公理出發全部證明一次，而不需要依賴於圖，亦不需要另外引入一些貌似明顯的假設。順帶一提，定理中的 (i) 至 (v) 在某程度上告訴我們線段（或直線）應該是連續的。關於連續性的公理亦是《幾何原本》所欠缺的，在下一章我們會討論到這一點。

根據定義 20，等邊三角形不當成是等腰三角形（類似地在《幾何原本》中正方形亦不當成是長方形），現代的教科書一般都不會這樣。把等邊三角形當成等腰三角形在邏輯上是較方便的，因為在證明某個三角形等腰時只需證明其中兩邊相等，而不需理會第三條邊。

定義 23 給出平行線的定義，當中涉及「無限延長」以及「方向」這兩個概念。歐幾里得對這兩個概念到底掌握多少，是值得懷疑的。我們相信，「無限延長」一詞是在翻譯過程中才出現。歐幾里得當時所說的線（直線、曲線）都是有限長，而平行直線的定義原文應該是「無論怎樣延長也不相交」（在下一章我們會討論《幾何原本》的公設，其中一條指出有限直線可以繼續延長）。至於線段可以向兩個方向延長這一說法，歐幾里得對「方向」這個概念的理解依賴於直觀。

歐幾里得在《幾何原本》第一卷的開頭寫下 23 個定義，接下來就是 5 條公設（postulate）與 5 條公理（common notion）。歐幾里得認為公理是適用於一切科學的真理，而公設則只應用於幾何。後人一般都不再這樣區分，將那些不需證明而被接受的命題統稱為公理。在第二章中說過，歐幾里得的成就在於他精心選出的 10 條公理：

公設

  1. 由任意一點到任意一點可作直線。
  2. 一條有限直線可以繼續延長。
  3. 以任意點為心及任意的距離7可以畫圓。
  4. 凡直角都相等。
  5. 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於二直角，則這二直線經無限延長後在這一側相交。

公理

  1. 等於同量的量彼此相等。
  2. 等量加等量，其和仍相等。
  3. 等量減等量，其差仍相等。
  4. 彼此能重合的物體是全等的。
  5. 整體大於部份。

這 10 條公理問世以來受到廣泛的討論和批評，特別是對第五公設的研究，使人類明白到歐氏幾何並不是宇宙間唯一的幾何，更導致非歐幾何的出現。在討論這些公理之前，首先指出的是歐幾里得從來沒有天真地假定過這 10 條公理之間沒有矛盾。亞里士多德（Aristotle，公元前 384 至前 322 年）認為我們可定義具有矛盾性質的東西，而公理的真確性應由它們推導出來的結果與現實世界比較以作檢驗。

公設一並沒有指出通過兩點的直線的唯一性，但歐幾里得卻在第一卷的第四個命題中用到。那個命題的內容如下：

第一卷的命題 4：

如果兩個三角形有兩邊分別等於兩邊，而且這些相等的線段所夾的角相等。那麼，它們的底邊等於底邊，三角形全等於三角形，而且其餘的角等於其餘的角，即那些邊所對的角。

《幾何原本》中的證明大致是這樣的：設 ABC 和 DEF 是兩個三角形，兩邊 AB、AC 分別等於 DE、DF，以及 ÐBAC = ÐDEF。將三角形 ABC「移動」到三角形 DEF 上，使得 A、B、C 分別與 D、E、F 重合。到底何謂「移動」姑且不談（歐幾里得當然未能交待清楚！），之後歐幾里得卻說由此可知線段 BC 與 EF 重合。他認為若不重合的話兩線段便會圍出一個區域，這是不可能的。這個證明裏面歐幾里得利用了公設一沒有指出的東西：過兩點的直線（或線段）的唯一性。

公設二犯了和公設一相同的毛病：沒有指出線段的延長線的唯一性，如果可以明確寫出這唯一性會更好。由於當時的希臘人所考慮的線全都是有限長的，有時兩線段必須延長後才會相交，這條公設保證了線段可以延長。

公設三保證了圓形的存在性（其實如同之前兩條公設一樣，歐幾里得強調「構造」多於「存在」），這條公設早在第一卷的命題一便已用到。從現代數學的觀點來看，圓形是與一定點（圓心）有相同距離的點所組成的集合，這樣圓形的存在性由集合論本身的公理所保證，故希爾伯特沒有將這樣一條公設放入他的公理系統裏面。

公設四「凡直角都相等」，初看之下很難捉模歐幾里得的用意。直觀上看，一隻直角可以透過平移和旋轉使其與另一隻直角重合，而公設四保證了在平移和旋轉的過程中「垂直性」不變。更一般地，平移和旋轉並不改變兩直線間的夾角，在之前提及過的《幾何原本》第一卷命題4的證明中亦有間接用到這個事實。歐幾里得倒因果了！事實上應該是命題4（SAS 全等三角形判別法）保證了幾何圖形在平移、旋轉過程中幾何結構不變。希爾伯特看出了這一點，所以將 SAS 判別法8列入公理表當中。

在《幾何原本》的 10 條公理當中，第五公設是最具爭議性的一條。其餘的 9 條公理都非常直觀，而且敘述簡短，相比之下第五公設顯得格格不入。我們有理由相信歐幾里得本人也不太喜歡這條公設，大家請看以下的統計：

從統計表可看出第五公設比其他公設、公理引用得較遲，要到命題 29 才第一次被引用。命題 1 至命題 28 包括一些重要的定理和作圖題，它們的證明有部份比命題 29 更複雜。頭28個命題不需要引用到第五公設的原因不是因為它們簡單，是歐幾里得故意將不需要用到第五公設的命題放到最前，到了命題 29 才迫不得意要用到第五公設！讓我們來看看這個關鍵性的命題 29：

《幾何原本》第一卷命題 29

一條直線與兩條平行直線相交，則所成的內錯角相等，同位角相等，且同旁內角的和等於二直角。

在上圖中，AB // CD，直線 EF 分別交 AB、CD 於 G 和 H。《幾何原本》對命題 29 的證明大意是這樣的：若同旁內角不互相，則 EF 其中一側的同旁內角之和少於二直角，於是第五公設指出線段 AB 和 CD 適當地延長後會相交，與 AB // CD 矛盾。

命題 29 是大家熟知的平行線性質，它連同命題 27、28 中的平行線判別定理可以證明很多有用的結果和作圖題，著名的例子是三角形內角和等於二直角。雖然第五公設在《幾何原本》中被引用得很少，但即使單單為了證明命題 29 這個關鍵性的命題，便已值得將它列入公理表中。根據數學史家的考證，《幾何原本》中大部份的結果在歐幾里得之前已經有人知道，但第五公設卻是歐幾里得本人想出來的。歐幾里得看出這個公設的重要性，充分顯示出他的天才！

由於第五公設那樣礙眼，從《幾何原本》問世以來，試圖用其餘 4 條公設（以及 5 條公理）證明第五公設的嘗試就已經開始。很多人確信第五公設可以被證明，可是經過了兩千多年，仍然沒有人能證明出第五公設。正如其他著名的難題一樣，有很多人曾經聲稱自己已經解決了這個問題，但結果無一例外地那些「證明」都暗中引用了不能單靠其餘公理證明的命題。越是對第五公設進行研究，就越令人感到懷疑：到底第五公設能否被證明？這兩千年間數學已發展至煥然一新的樣貌，解析幾何、微積分、微分方程及其他數學分支相繼出現，無數一流數學家在數學界大放異彩，但仍然沒有人能證明到第五公設。法國數學家達朗貝爾（1717 年至 1783 年）在 1759 年說歐幾里得第五公設是「幾何原理中的家醜」！

著名數學家勒人達（Adrien Marie Legendre，1752-1833）是千千萬萬為第五公設著迷的人之一，他花了 29 年的時間研究，發表了一個證明第五公設的嘗試。在討論他的證明之前，首先指出在研究第五公設的過程中，數學家們很早便知道很多與第五公設等價的命題，其中一個是平行公設。

平行公設

直線 L 外有一點 P，則 L 和 P 所在的平面上至多只有一條直線通過 P 而與 L 平行。

平行公設只說通過 P 而平行於 L 的直線最多只有一條，但沒有說過這樣的直線存在，因為存在性可以被證明而無須列為公理。現時有很多教科書都用平行公設以代替歐幾里得的第五公設，其中一個原因是平行公設避開了第五公設中「直線的一側」這個概念。雖然這個概念可以嚴格地定義，但作為一條公理其敘述應越簡潔越好。

勒人達的嘗試（證明平行公設）

設 P 為直線 L1 外一點，過 P 作 L1 的垂線交 L1 於 Q，過 P 作 PQ 的垂線 L2，於是有 L1 // L2。設 L3 是過 P 且異於 PQ 和 L2 的任一直線，我們希望證明 L1 與 L3 相交。

在直線 L3 上取一異於 P 的點 R，使得射線 PR 在射線 PQ 和以 P 為端點並在 L2 上的射線之間。在射線 PQ 的另一側取點 R’ 使得 ÐQPR‘ = ÐQPR。留意到點 Q 在 ÐRPR’ 的內部且 L1 過 Q，故直線 L1 必定與 ÐRPR’ 的其中一條邊相交。若 L1 與 PR 相交，則 L1 與 L3 相交。若 L1 與 PR’ 相交於 A，在射線 PR 上取點 B 使得 PB = PA，於是有（SAS），從而得知 ÐPQB 是直角，亦即 B 在 L1上。這證明了 L1 與 L2 相交。

這個證明是否正確？要回答這個問題便需要細心檢驗證明的每一步。首先，我們應定義清楚證明中每一個用詞，例如「垂直」、「角的內部」、「直線的一側」、「三角形的全等」…等等。然後我們要解釋為甚麼 L1 與 L2 同時垂直於 PQ 就必定互相平行（注意此時不可以用第五公設），要解釋為何點 R’ 存在，要解釋為何 Q 在角的內部，要解釋為何 L1 通過角 RPR’ 的內部的點就必定與 PR 或 PR’ 相交。大家可想而知證明平行公設是多麼困難的一件事！我們不打算在這裏詳細討論勒人達的證明有甚麼漏洞，只是想指出這個證明裏面用到一些不能由第五公設以外其他公理所證明的命題。

經過了漫長的歲月，轉機終於來臨。非歐幾何的發展使研究第五公設的數學家們驚嘆不已。為了證明平行公設，人們先假定與平行公設相反的命題，然後與其他公理一起希望推導出矛盾。這樣的努力無論怎試也不成功，更意外地發展出一些與歐氏幾何截然不同的新幾何學。如果這些幾何不包含矛盾，就表示平行公設（或第五公設）與其他公理獨立，不可能由其他公理得出。人類經過長年累月的經驗，相信歐氏幾何的公理不會推出矛盾的命題。但是，我們又憑甚麼相信這些新幾何亦不包含矛盾呢？1898 年龐加萊（Poincaré）發表了一個見解，認為一個公理地建立起來的結構，如果能給它一個算術解釋，就可以相信它的相容性。因為若果這個結構包含矛盾，那麼算術中亦會出現相應的矛盾。希爾伯特完成了這種「矛盾轉移」，在《幾何基礎》中為非歐幾何給出一個算術解釋，加上人類多年來的經驗使人相信算術是相容的，所以我們應對非歐幾何抱有相同程度的信賴。這個答案已令人相當滿意。

至於《幾何原本》中的 5 條公理，有部份被希爾伯特修改後列入他的公理表中，有些則被取消。有興趣的朋友可參看附錄或有關的書籍，這裏就不再討論了。

最後不可不提的是由於《幾何原本》公理的不足，使歐幾里得無可避免地在證明中不自覺地用到一些貌似明顯的事實。特別是在關於點在直線上的次序、直線和圓的連續性等問題上歐幾里得往往採用直觀的方式作論證，例如在《幾何原本》第一卷命題 1 的證明中，他認為以相異點 A、B 為圓心和 AB 為半徑的兩個圓必定相交，這等於暗自假設了圓是連續的。

歐幾里得的《幾何原本》是劃時代的鉅著，雖然它裏面的結果大多數都是前人已知的，但它所採用的公理方法卻被數學家沿用至今。精心選出來的10條公理，充份顯示出歐幾里得的天才及驚人的洞察力。特別是第五公設的引入，吸引了無數一流的數學家嘗試去證明，這導致非歐幾何的出現，令我們對歐氏幾何有更深入的了解。

雖然《幾何原本》的公理系統不全，當中的證明亦有不少缺陷，但它踏出了幾何公理化突破性的一步。從《幾何原本》到《幾何基礎》，單從邏輯上看是一種堵漏補遺，但其實這代表著人類抽象思維的昇華。

[1] Marvin Jay Greenberg, Euclidean and non-Euclidean Geometries: development and history, 3rd Edition, W. H. Freeman and Company. New York, 1994.

[2] Benno Artmann, Euclid—the creation of mathematics, Springer-Verlag New York, Inc., 1999.

[3] 歐幾里德（Euclid）著，藍紀正、朱恩寬譯，歐幾里得‧幾何原本，九章出版社，1996。

[4] 莫里斯‧克萊因（Morris Kline）著，北大數學系數學史翻譯小組譯，古今數學思想（第一冊），上海科學技術出版社，2002 年。

[5] 王懷權，數學的故鄉，王懷權出版，1997 年。

[6] 蔣聲，歐幾里得第五公設，九章出版社，1993 年。

I. 連通公理（Axiom of Connection）

  1. 對於任二點 A、B 而言必存在有一直線 a，使 A、B 在 a 上。

  2. 任二點 A、B 最多只有一直線 a 使得 A、B 在 a 上。

  3. 每一直線至少含有二點，至少有三點不在同一直線上。

  4. 不在同一直線上的任三點 A、B、C 至少有一平面 a，使得 A、B、C 三點都在 a 上。每一平面至少含有一點。

  5. 不共線的三點最多只有一個平面 a，使得這三個點都在其上。

  6. 若一直線上的二點在一平面 a 上，則該線所有點在 a 上。

  7. 若二平面 a、b 有一共同點 A，則必至少還有一個點 B 在 a、b 之上。

  8. 至少有四點不在同一平面上。

II. 在其間公理（Axiom of Betweenness）

  1. 若一點 B 在兩點 A、C 之間，則 A、B、C 為不同三點在同一直線上而且 B 也在 C、A 之間。

  2. 對於任二點 A、B 而言，在直線 AB 上至少有一點 C 使得 B 在 A、C 之間。

  3. 一直線上任三點最多其中一點在其餘兩點之間。

    定義

    設一直線 a 上二點 A 和 B。無序對 A、B 或 B、A 稱為 AB 線段。在 AB 之間的點稱為 AB 的內點，A、B 叫端點，其他線上的點（非內點、端點者）稱為外點。

  4. （帕科公理）設 A、B、C 為平面 a 上不共線之三點，a 上有一直線 a，其中 A、B、C 都不在 a 上。若 a 過線段 AB 的一點，則 a 必也過線段 AC 或線段 BC 的一點。

III. 全等公理（Axiom of Congruence）

  1. A、B 為直線 a 上兩點，若 A’ 為 a 上一點（或另一直線 a’ 上一點），則 a（或 a’）上有另外一點 B’，使得此二線段 AB 與 A’B’ 全合，記為 AB = A’B’。

  2. 若 AB = A’B’，AB = A”B”，則 A’B’ = A”B”。

  3. 設直線 a 上 AB、BC 沒有共同內點，直線 a’ 上 A’B’、B’C’ 也沒有共同內點且 AB = A’B’ 及BC = B’C’，則 AC = A’C’。

  4. 設給定了一平面 a 上的一個角 Ð(h, k)，平面上 a’ 的直線 a’，以及指定平面 a’ 上直線 a’ 的一側，且 h’ 是直線 a’ 上一點 O’ 開始的一條射線，則在平面 a’ 上直線 a’ 的指定一側恰有一條射線 k’，使 Ð(h, k) = Ð(h‘, k‘)。每個角與它自己全合。

  5. 兩個三角形 ABC 和 A’B’C’ 若滿足 AB = A‘B‘、AC = A‘C‘ 和 ÐCAB = ÐC‘A‘B‘，則必有 ÐABC = ÐA‘B‘C‘。

IV. 平行公理（Axiom of Parallels）

設 a 為一直線，A 為線外一點，則在 a、A 的平面上最多存在一直線過 A 且與 a 平行。

V. 連續公理（Axiom of Continuity）

  1. （阿基米德公理） 若 AB 和 CD 是任意兩線段，則在從 A 開始並通過點 B 的射線上必有這樣的有限個點 A1、A2、…、An，使得線段AA1、A1A2、…、An-1An都與線段 CD 全合，而且 B 在 A 與 An 之間。

  2. 設一直線上的點若滿足公理 I(1)、I(2)、II、III(1)、V(1)，則不能再擴大成更大的集合使滿足這些公理。